Teoremas

                                                    Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

El número de oro y otros números metálicos

A la sucesión de recurrencia:

un+1=pun+qun−1

le correspnde, en ecuaciones en diferencias, la siguiente ecuación característica:

x2−px−q=0

cuya solución positiva es:

p+p2+4q−−−−−−√2

Se obtienen así los llamados números metálicos:

p	1	2	3	1	1
q	1	1	1	2	3
número	oro	plata	bronce	cobre	niquel
valor	1+5√2	1+2√	3+13−−√2	2	1+13−−√2

La sucesión con p=q=1 es la conocida sucesión de Fibonacci.
La sucesión generalizada de Fibonacci es:

G(n+1)=pG(n)+qG(n−1)

Y si a y b son los términos iniciales:

a,b,pb+qa,p(pb+qa)+qb,...

Operando en la expresión recurrente y tomando límites:

G(n+1)G(n)=p+G(n−1)G(n)q

x=limn→∞G(n+1)G(n)

x=p+qx

x2−px−q=0

se obtiene la ecuación característica de la ecuación en diferencias.

Por tanto, el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Generalizda tiende siempre al número metálico corespondiente.

La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel.

Cuadratura del rectángulo

El conjunto de conocimientos necesarios para erigir los templos y altares se encuentran en los Sulvasutras o reglas de las cuerdas, Sulva se refiere a las cuerda utilizadas para hacer mediciones y sutra al conjunto de las reglas. Los sulvasutras son básicamente un tratado de geometría que utiliza el teorema de Pitágoras y pertenecen a la primera época de la matemática hindú (siglo II de nuestra era). La rectificación y la cuadratura del rectángulo es una de esas construcciones:

Sea AB=a un lado mayor del rectángulo y AD=b un lado menor del rectángulo.

RECTIFICADO: El cuadrado ANMG tiene el mismo perímetro que el rectángulo incial:

AG=a−a−b2=a+b2

p=4a+b2=2(a+b)

CUADRATURA: El cuadrado ALHK tiene la misma área que el rectángulo inicial:

GF=GK=a−a+b2=a−b2

AK=AG2−GK2−−−−−−−−−−√=(a+b2)2−(a−b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=ab−−√

Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lado opuestos. 

Henry Pitot (1695-1771), fue un ingeniero y físico francés. Fue militar y estudió matemáticas por su cuenta.
Inventó el "tubo de Pitot" que es un instrumento destinado, entre otras aplicaciones a la medición del caudal a través de la cuantificación de la velocidad del flujo y que utilizó para medir el caudal del Sena.

Teorema de Pascal

En un hexágono irregular inscrito en una circunferencia se trazan las prolongaciones de sus lados. Las rectas correspondientes a los lados opuestos se cortan en tres puntos respectivamente. Estos puntos están alineados y determinan la recta de Pascal. La figura en la que se inscribe el hexágono puede ser cualquier sección cónica (elipse, parábola...).

Este teorema, también llamado Hexagrammun Mysticum, es una generalización del Teorema del hexágono de Pappus y del dual proyectivo del Teorema de Brianchon. Fue decubierto por Blaise Pascal a la edad de 16 años.

 Fue generalizado por Möbius en 1847: Si un polígono con 4n+2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n+1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto restante también se encuentra sobre esa línea.

                                                Teorema de Von Aubel

En un cuadrilátero, no necesariamente convexo, se construyen cuadrados adosados sobre sus lados de arista igual a cada arista del cuadrilátero. Si se unen los centros de los cuadrados opuestos, las rectas que pasan por esos centros son perpendiculares.

Si uno de los lados se reduce a un punto, se obtiene un triángulo. En este caso también se cumple el teorema, siendo una de las rectas perpendiculares la que une los centros de los cuadrados construidos sobre dos lados contiguos, y la otra la que une el centro del otro cuadrado con el vértice opuesto del triángulo.